煤與瓦斯突出啟動和終止的尖點突變研究
要：在建立煤與瓦斯突出的安全力學條件下，運用尖點突變理論研究礦井中的煤與瓦斯突出，通過構造煤與瓦斯突出的突變勢函數(shù)，利用突變尖點模型對突出的啟動和終止過程進行定性分析和研究，從而為煤與瓦斯突出災害預測與防治提供新的理論依據(jù)。
關鍵詞：煤與瓦斯突出；尖點突變；構造勢函數(shù)；突出力學條件
煤與瓦斯突出是發(fā)生在礦井煤巖體中的災害動力現(xiàn)象，是含瓦斯煤巖體的一種劇烈的能量釋放形式。如今對突出機理的研究認識，大多是基于力學或能量的觀點，但突出從孕育到啟動和從發(fā)展到結束都具有明顯的突變特征。故研究突出啟動和結束的突變過程，掌握突出啟動和結束的影響因素，可以加深對突出災變性質(zhì)的認識，有利于礦山企業(yè)采取有效的安全措施來防治和減輕突出的危害。
1 突變理論的基本概況
突變理論是奇點理論和分岔理論研究不連續(xù)變化現(xiàn)象的理論，是一個新興的數(shù)學分支。
當事物發(fā)展的軌跡在拓撲曲面上遇到中斷處，平衡就遭到破壞，于是發(fā)生了突變。突變理論是一種旨在應用的理論，在數(shù)學、力學和物理學中，借助突變理論不僅能加深對已有定律的認識，還取得了一些新成果。Thom，證明，當控制系統(tǒng)的因素(控制變量)不多(≤4個)時，只有7種基本突變形式，其中最常用的是尖點突變模型。
當控制變量有2個時，最簡單的突變模型都是尖點型。該突變型應用最廣，且它的臨界面也容易構造，幾何形狀直觀性也很強。
2 尖點突變的概述
尖點突變的勢函數(shù)為
狀態(tài)變量是一個，即x，控制變量有2個，即u和v，所以相空間是三維的，該勢函數(shù)的臨界點是方程式(1)的解。
式(1)曲面見圖1。假設系統(tǒng)的狀態(tài)是以x，u，v為坐標的三維空間的一個點來代表，則相點一直位于曲面上，事實上，這些點一直位于曲面的頂葉或底葉。這是因為中葉對應于小穩(wěn)定平衡。如果相點正好在曲面終止的邊緣上(曲綿回折形成的中葉處)，則它必定跳躍到另一葉上，這就引起x的突變。尖點之中有2個極小點，它們被1個極大點分隔，而尖點之外只有1個極小點。
圖1 尖點突變的平衡曲而
2.1 運用尖點突變理論解決工程問題的一般方法
初等突變理論的應用分兩類。一類是定量描述，主要用于數(shù)理化等科學，其方法是尋找一個勢函數(shù)或者某一突變流形或分叉集有相同數(shù)學描述的系統(tǒng)，應用適當?shù)臄?shù)學方法，將其歸結為Thom分類表中的某一種類型。另一類是定性分析，主要用于生物、社會等科學，由觀察到的特征假想出一個初等突變模型，然后作數(shù)據(jù)擬合，看這個數(shù)學模型能否用來較好地解釋觀察到的現(xiàn)象，最后推斷現(xiàn)象的機理，導出一個物理模型。
基于尖點突變理論，工程問題分析一般是建立勢函數(shù)表達式，再利用泰勒展開、變量替換等技巧將勢函數(shù)化為尖點突變的標準形式：
式(2)中V(x)表示系統(tǒng)總勢能，x表示狀態(tài)變量，u，v為控制變量，對V(x)求導，得平衡曲面M的方程：
式(3)所決定的臨界點集稱為突變流形，即平衡曲面，該曲面在(x，u，v)空間中的圖形是具有皺褶的光滑曲面，見圖2，由上、中、下三葉組成，其中上、下兩葉穩(wěn)定，中葉不穩(wěn)定。不管u，v按何種途徑變化，其中相點(x，u，v)都只在上葉或者下葉穩(wěn)定變化，恒在其到達上葉或者下葉的皺褶邊緣時產(chǎn)生突跳而直接躍過中葉。所有在平衡曲面上有豎直切線的點構成狀態(tài)的突變點集S，其方程為
奇異點集的控制變量(u，v)在平面C上的投影就構成了分叉集，它是所有使得狀態(tài)變量產(chǎn)生突跳突變的點的集合，分叉集方程由式(3)、(4)聯(lián)立并消去x，即得到：
圖2 平衡曲面和控制變量平面
由圖2可知，當u≤0時才有跨越分叉集的可能，所以系統(tǒng)發(fā)生突跳的一個必要條件是：u≤0。
當控制變量u，v滿足分叉集方程時，系統(tǒng)則處于突跳前的臨界狀態(tài)，所以可得到系統(tǒng)發(fā)生突變的充分條件(臨界條件)。
系統(tǒng)中某些因素的變化將會導致u，v的改變。利用圖2可以對系統(tǒng)的演化途徑作一些定量分析。
2.2 煤與瓦斯發(fā)生突出機制
綜合作用假說認為突出是地應力、瓦斯壓力和煤的物理力學性質(zhì)綜合作用的結果。資料表明，物理力學性質(zhì)方面具備能夠形成突出的煤體在地應力的作用破壞下是煤與瓦斯突出發(fā)生的一個必要條件但不是充分條件，原因是地應力破壞煤體后如果煤體的裂紋或裂隙中沒有足夠的瓦斯壓力，裂紋或裂隙就不會大面積地擴展，暴露面附近已被地應力破壞的煤體也不會被拋出，即突出不會發(fā)生，且被破壞的煤體僅承受一定應力，動態(tài)的應力場將會慢慢地形成靜態(tài)應力場，這樣暴露面也將慢慢地處于穩(wěn)定狀態(tài)，煤體內(nèi)部的瓦斯氣體將以較為緩慢的速度向井巷釋放。但是如果煤體在地應力作用下破壞后能較快地釋放足夠的瓦斯量并形成積聚，從而形成較高的瓦斯壓力，撕裂煤體，從而使得煤體被拋出，這樣煤與瓦斯突出就發(fā)生了。
2.3 煤與瓦斯突出發(fā)生的力學條件
根據(jù)M. M. Leven提出的球蓋失穩(wěn)的經(jīng)驗公式，可推出煤與瓦斯發(fā)生突出現(xiàn)象的力學條件為
式(6)的使用條件是：?i=20o～60o，Ri/ti=400~200。
式中：Pim為煤殼后部裂隙內(nèi)積聚的最大瓦斯壓力，MPa；i為球蓋狀煤殼的邊緣與煤殼的曲率中心構成的中心角的一半；E為煤體的彈性模量，MPa；E為煤殼的厚度，m；Ri為煤殼的曲率半徑，m；p2為煤殼外部作用的氣壓，MPa。
令式(6)的右邊部分為P1，則煤與瓦斯突出的安全力學條件為：Pim≤P1。
由此可以得出：煤與瓦斯突出所能承受的安全受力與煤殼的厚度、煤殼的曲率半徑、煤殼的外部作用氣壓、煤體的彈性模量，以及球蓋狀煤殼的邊緣與煤殼的曲率中心構成的中心角等有關。
2.4 構造突變勢函數(shù)
發(fā)生煤與瓦斯突出前，影響其發(fā)生的一個或多個因素是在變化的，一直達到臨界點，這段過程是突出的量變過程；達到臨界點后，當某一個或多個影響因素向有利于突出發(fā)生的方向變化時，就發(fā)生了突出，這一過程是突出的質(zhì)變過程；從量變到質(zhì)變，必定存在著一個突變。
現(xiàn)在構造兩個函數(shù)：w(?i，Ri)和y(E，ti，P2)，其中w是單調(diào)減小的；y是分段函數(shù)；當P1-Pim>0時，單調(diào)增加，當P1-Pim<0時，單調(diào)減小(Pim為實際瓦斯壓力)。煤與瓦斯突出可以適合尖點突變模型，則其突變勢函數(shù)為
由式(7)對(P1-Pim)求導，可得到平衡曲面M的方程：
突變點集(奇點集)方程S為
分叉集方程口為
3 突變理論對煤與瓦斯突出分析
在圖3中，w和y分別代表煤與瓦斯突出的啟動和發(fā)展的2個條件；當P1-Pim<0時，w增大則不利于瓦斯突出發(fā)生；y減小時有利于瓦斯突出發(fā)生。突出從下葉到上葉的躍遷過程是煤與瓦斯突出的啟動和發(fā)展過程的體現(xiàn)，相反突出終止過程是用上葉到下葉的躍遷過程來體現(xiàn)。
圖3 平衡曲面和控制平面
通常，在無外界因素影響的情況下，圖3中分叉集日的左支、右支曲線分別代表瓦斯突出過程的臨界啟動條件和瓦斯突出的臨界終止條件。
因此，把突出的啟動過程描繪為孕育、激發(fā)和發(fā)展階段的前部；突出的終止過程為發(fā)展階段的后部和終止階段。
3.1 煤與瓦斯突出的啟動過程
煤與瓦斯突出的啟動過程，見圖4。其中，P1-Pim<0時，w和y都是單調(diào)減小的。先假定w不變，則y就會隨著E，tim，P2這幾個參數(shù)中的一個或多個的增大而減小，直至封分叉集B的左支曲線，此時突出也已到達臨界點的位置。若參數(shù)繼續(xù)增大，圖上就表現(xiàn)為從下葉躍遷至上葉，相應的P1-Pim<0由小于0突變?yōu)榇笥?，此刻煤體所承受的瓦斯壓力大于煤體本身所能承受的安全瓦斯壓力，則突出就會發(fā)生。圖中a-b-c是(w，y)在平衡曲面上的運動軌跡。
再假定y不變，則由圖當y>0時，無論w怎樣變化，最多也只能到達臨界點，此種情況下突出不可能發(fā)生，這一結論與現(xiàn)場實際情況完全吻合；相反當y<0時，”隨著影響其參數(shù)的一個或多個減小而增大，才能到達分叉集B的左支曲線，進而發(fā)生躍遷，現(xiàn)場表現(xiàn)為突出發(fā)生。圖4中a-b-d是(w，y)在平衡曲面上運動軌跡。
圖4 突出啟動參數(shù)變化圖
上面兩個假定，分析了在各自假定條件下，突出發(fā)生的條件。實際情況中突出發(fā)生時，w和y都可能在變化，在圖4中的運動軌跡也極有可能不是上述2種情況，但可以肯定的是突出發(fā)生在圖中的表現(xiàn)為：先從下葉到達分叉集B的左支曲線，然后在影響參數(shù)繼續(xù)向有利于突出的方向影響下發(fā)生躍遷到上葉。
3.2 煤與瓦斯突出的終止過程
突出發(fā)生后，經(jīng)過一定的時間和空間的變化后，在一些相關因素的影響下才會停止下來。圖5描述的是突出的終止過程。
同分析啟動過程一樣，先假定w不變，則y會隨著E，ti，p2這幾個參數(shù)中的一個或多個的減小而增大，等到達分叉集B的右支曲線時，若y繼續(xù)增大，則在圖中表現(xiàn)為躍遷P1-Pim也由大于0變?yōu)樾∮?，煤體所承受的瓦斯壓力就會小于煤體所能承受的安全瓦斯壓力，突出就終止。圖中a’-b’-c’是(w，v)在平衡曲面上的運動軌跡。
圖5 突出停止參數(shù)變化圖
若y不變，當y很小時，則不論w怎樣增大也到不了分叉集B的右支曲線，使人容易認為突出將持續(xù)下去，其實，這是表象，當突出達到一定的程度時，突出的空洞將被排出的煤巖體堵塞，相當于P1增大，當P1增大到使得P1>pim時，突出過程就終止。如果y不是很小的情況下，當w隨著影響其因素(i，Ri)的增大而增大，現(xiàn)場表現(xiàn)為遇到較為堅硬的煤(巖)層等，根據(jù)突出終止過程的條件，也將到達分叉集B的右支曲線，進而發(fā)生躍遷。在圖5上表現(xiàn)為(P1-pim)由大于0躍遷變?yōu)樾∮?，過程終止。(w，y)在平衡曲面上的運動軌跡為a’-b’-d’。
同理，在突出的終止過程時，w和y可能都發(fā)生變化。(w，y)在平衡曲面上的運動軌跡也較為復雜，但有一點明確的是先從上葉到達分叉集B的左支曲線，然后躍遷到下葉。
4 結束語
應用尖點突變理論，描述了突出啟動和終止的力學安全突變勢函數(shù)，分析了突出啟動和終止的突變過程和突變影響因素?，F(xiàn)場采掘過程中，突出發(fā)生前，點(w，y)處于平衡曲面下葉的某一個位置，隨著掘進工作的進行，該點不斷地變化，通常情況下，該點只在下葉的頁面范圍內(nèi)移動。但是，如果在掘進前方存在能引起突出的物質(zhì)和條件，如構造煤、斷層、應力集中區(qū)、煤層傾角突然變大等情況，此時y減小，w增大，點(w，y)極有可能向分叉集B的左支曲線移動，當y減小以及w增大達到一定值時，點(w，y)就會到達分叉集B的左支曲線，如果繼續(xù)向這一方向變化，則點(w，y)就會突破分叉集B的左支曲線，由下葉躍遷到上葉，這樣突出就發(fā)生了。同樣，突變終止是影響點(w，y)所處狀態(tài)的因素突然變化而引起躍遷產(chǎn)生的結果。
參考文獻：
[1] 凌復華.突變理論及其應用[M].上海：上海交通大學出版社，1988
[2] 于不凡.堞與瓦斯突出機理[M].北京：煤炭工業(yè)出版社，1985
[3] 蔣承林，俞啟香，等.煤與瓦斯突出的球殼失穩(wěn)機理及防治技術[M].徐州：中國礦業(yè)大學出版社，1998
[4] 何學秋.含瓦斯煤巖流變動力學[M].徐州：中國礦業(yè)大學出版社，1995
